Сторінка 2
Квадратна матриця А називається симетричною відносно головної діагоналі ,якщо ai j=aj i .
Квадратна матриця, в якщї всі елементи, що не лежать на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається дшагональною.Якщо елементи діагональної матриці, що розміщені на головній діагоналі, дорівнюють одиниці, то матриця називається одиничною і позначають її буквою Е:
1 0 . 0
Е= 0 1 . 0
. . . . . . . . . . .
0 0 . 1
2.2.Дії над матрицями:
Як виявляється, над матрицями можливі арифметичні дії, властивості яких близькі до властивостей арифметичних дій над числами.
Сумою двох матриць ai j і bi j з одинаковою кількістю рядків і стовпців називається матриця сi j ,у якої елементом сi j є сума aij+bij відповідних елементів матриць ai j bi j ,тобто
ai j + bi j = ci j ,
якщо ai j+bi j=ci j (i=1,2, ,m; j=1,2, ,n)
Приклад: a11 a12 b11 b12 a11+b11 a12+b12
a21 a22 b21 b22 a21+b21 a22+b22
Аналогічно знаходимо різницю двох матриць.
Матрицці різних порядків додавати(віднімати) не можна.
Множення матриці на число.Щоб помножити матрицю на число l або число на матрицю, потрібно кожний елемент матриці помножити на це число.
l * ai j = l ai j
a11 a12 l a11 l a12
l a21 a22 = l a21 l a22 .
Безпосередніми наслідками вказаних визначень є співвідношення:
1) 1 • А = А • 1 = А ;
2) 0 • А = А • 0 = 0 ;
3) a • О = О • a = О ;
4) a (b А) = (a b) А = (А a) b = А (a b);
5) А + (В +С) = (А+ В) + С;
6) А + В = В + А;
7) (a + b) А = a А + b А;
8) a (А + В) = a А + a В;
9) А + О = О + А = А;
10) А + (-1)А = О;
Тут А, В, С - матриці одного порядку, a, b - числа, О - нульова матриця (всі її елементи дорівнюють нулеві). Перевірка вказаних властивостей не викликає ускладнень.
Елемент ci j матриці С, яка є добутком матриці В на матрицю А, дорівнює сумі добутків елементів і-того рядка матриці В на відповідний елемент j-того стовпця матриці А, тобто
k
ci j =åbi lal j (i=1,2, ,m; j=1,2, ,n).
l=1
Властивості добутку матриць:
1) (А В) С = А (В С);
2) А (В + С) = А В + А С;
3) (А + В) С = А С + В С;
4) А Е = Е А = А;
5) (А В)*= В*А*;
Тут А, В, С - довільні матриці, для яких вказані рівності мають сенс.
Доведемо першу рівність - асоціативність множення матриць.
Позначимо D = A B, F = B C, G = D C, H = A F. Потрібно довести, що G =H.Оскільки множення вказаних вище матриць можливе, то А буде порядку m´n, В - порядку n´k, С - порядку k´l. З означення множення дістанемо, що D - порядку m´k, F - порядку n´l, G i H - матриці одного порядку m´l.
Зафіксуємо довільні i, j і доведемо, що gij = hij.Маємо
k k k
gij = å dia caj = å å aib bba caj ;
a=1 a=1 b=1
n n k
hij = å aibfbj =å aib å bba caj .
b=1 b=1 a=1
Позначивши tab = aib bba caj, отримаємо
k n n k
gij = å å tab , hij = å å tab .
a=1 b=1 b=1 a=1
Кожна із вказаних сум дорівнює сумі всіх елементів деякої матриці (tab ), обчисленій двома різними способами.Отже, hij = gij, що й потрібно довести.
Інші властивості добутку доводяться аналогіччно, тільки простіше.
Оберненою називається матриця А-1, така що якщо її помножити на матрицю до якої вона обернена, то в результаті отримаємо одиничну матрицю. А*А-1=Е
Знайти матрицю, обернену до квадратної матриці М= аi k ,можна за допомогою операцій над розширеною матрицею А:
m11 . . . . m1n 1 . . . . 0
A= . . . . . . . . . . . . . . . .
mn1 . . . . mnn 0 . . . . 1
Якщо ліву частину матриці А звести елементарними перетвореннями до одиничної, то в правій частині дістанемо матрицю, обернену до М.
До елементарних перетворень належать:
1)Переставлення двох рядків матриці А (або двох однойменних стовпців в лівій і правій частинах матриці А);
2)Множення рядка на відмінне від нуля число( або однойменних стовпців в лівій і правій частинах матриці А);
3)Заміна рядка сумою цього і будь-якого іншого рядка (або та ж сама сума однойменних стовпців в лівій і правій частинах матриці А);
Ділення двох матриць.
Дію ділення можна замінити дією множення на обернену матрицю
A / B = A * В-1
PROGRAM povorot; {Поворот матриці }
USES CRT;
CONST
N=3;
TYPE
S=ARRAY[1 N,1 N]OF REAL;
SS=ARRAY[1 N,1 N]OF REAL;
VAR
S1:S;S2:SS;M,i,j:INTEGER;
BEGIN
FOR i:=1 TO N DO
BEGIN
FOR j:=1 TO N DO
BEGIN
READ(S1[i,j]); {Ввід матриці}
END;
END;
WRITE('Vvedit kut povorotu');
READ(M); {Ввід кута повороту}
CASE M OF
90:BEGIN {Поворот матриці на 90°}
FOR i:=1 TO N DO
FOR j:=1 TO N DO
S2[I,J]:=S1[N-J+1,I];
1 [2] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
завантажити реферат
